如图，为等边的高，，点P为直线上的动点（不与点B重合），连接，将线段绕点P逆时针旋转60°，得到线段，连接、．

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1. 如图， $\text{[math]}$ 为等边 $\text{[math]}$ 的高， $\text{[math]}$ ，点P为直线 $\text{[math]}$ 上的动点（不与点B重合），连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点P逆时针旋转60°，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 问题发现：如图①，当点D在直线 $\text{[math]}$ 上时，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为， $\text{[math]}$ ；

(2) 拓展探究：如图②，当点P在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

(3) 问题解决：当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长度．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质; 勾股定理; 旋转的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 已知△ABC是等边三角形，点P在射线AC上（点P与点A、点C不重合），点D在线段BC的延长线上，且AP＝CD，△PCD′与△PCD关于直线AC对称.

(1) 如图1，当点P在线段AC上时，

①求证：PB＝PD；

②请求出∠BPD′的度数；

(2) 当点P在射线AC上运动时，请直接回答：

①PB＝PD是否仍然成立？

②∠BPD′的度数是否发生变化？

(3) 将△PCD′绕点P顺时针旋转，在旋转的过程中，PD′与PB能否重合？若能重合，请直接写出旋转的角度；若不能重合，请说明理由；

(4) 若AB＝4，当点P为AC边的中点时，请直接写出PD'的长

综合题困难

2. △ABC是等边三角形，以点C为旋转中心，将线段CA按顺时针方向旋转60°得到线段CD，连接BD交AC于点O．

①求证：AC垂直平分BD；

①点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND=NM，连接BN，判断△MND的形状，并加以证明；

(2) 如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段AO上，且ND=NM，补全图2，求证：NA=MC．

综合题普通

3. 如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：

(1) 当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；

(2) 当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．

综合题普通