如图，已知矩形ABCD中，∠ACB=30°，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B′落在AC上，B′C′交AD于点E，在B′C′上取点F，使FB′=AB。

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1. 如图，已知矩形ABCD中，∠ACB=30°，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B′落在AC上，B′C′交AD于点E，在B′C′上取点F，使FB′=AB。

(1) 求证：BB′=FB′；

(2) 求∠FBB′的度数；

(3) 已知AB=4，求△BFB′面积。

【考点】

矩形的性质; 旋转的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 $\text{[math]}$ 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖 $\text{[math]}$ 可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为 $\text{[math]}$ 时，箱盖 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 的位置（将后备箱放大后如图2所示）．已知 $\text{[math]}$ 厘米， $\text{[math]}$ 厘米， $\text{[math]}$ 厘米．在图2中求：

(1) 点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离（结果保留根号）；

(2) E、 $\text{[math]}$ 两点的距离（结果保留根号）．

综合题普通

2. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣8，0），直线BC经过点B（﹣8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转角度α得到四边形OA′B′C′，此时边OA′与边BC交于点P，边B′C′与BC的延长线交于点Q，连接AP．

(1) 四边形OABC的形状是．

(2) 在旋转过程中，当∠PAO=∠POA，求P点坐标．

(3) 在旋转过程中，当P为线段BQ中点时，连接OQ，求△OPQ的面积．

综合题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2 $\text{[math]}$ ，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．

(1) 填空：点B的坐标为；

(2) 是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；

(3) ①求证： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．

综合题困难