如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1（如图2）．

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1. 如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E₁OF₁（如图2）．

(1) 探究AE₁与BF₁的数量关系，并给予证明；

(2) 当α=30°时，求证：△AOE₁为直角三角形．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 正方形的性质; 旋转的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．

(1) 如图，当点E在BD上时．求证：FD=CD；

(2) 当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．

综合题普通

2. 如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′.

(1) 如图1，B′C′与AC交于点M，C′D′与AD所在直线交于点N，若MN∥B′D′，求α；

(2) 如图2，C′B′与CD交于点Q，延长C′B′与BC交于点P，当α＝30°时.

①求∠DAQ的度数；

②若AB＝6，求PQ的长度.

综合题困难

3. 如图，正方形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 旋转后的对应点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 求证 $\text{[math]}$ ；

(2) 直接写出图中已经存在的所有等腰直角三角形.

综合题普通