如图

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1. 如图

(1) 问题发现：如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB ， OC＝OD ， ∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC ， BD交于点M ． ① $\text{[math]}$ 的值为；②∠AMB的度数为；

(2) 类比探究：如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC ，交BD的延长线于点M ．请计算 $\text{[math]}$ 的值及∠AMB的度数．

(3) 拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC ， BD所在直线交于点M ．若OD＝1，OB＝ $\text{[math]}$ ，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

【考点】

勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题困难

(1) 问题发现：如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点P，且 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E

① $\text{[math]}$ 的值为；

② $\text{[math]}$ 的度数为；

(2) 类比探究：如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点P，且 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E.请计算 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 拓展延伸：如图 $\text{[math]}$ ，在（2）的条件下，将 $\text{[math]}$ 绕点O在平面内旋转， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在直线交于点P，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出点D与点P重合时 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难

2. 已知：△ABC和△ADE按如图所示方式放置，点D在△ABC内，连接BD、CD和CE，且∠DCE＝90°．

(1) 如图①，当△ABC和△ADE均为等边三角形时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；

(2) 如图②，当BA＝BC＝2AC，DA＝DE＝2AE时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；

(3) 如图③，当AB：BC：AC＝AD：DE：AE＝m：n：p时，请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系．

综合题普通

3. 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，A为CD中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点E，过B作 $\text{[math]}$ ，交CD延长线于F．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 延长FB交AO延长线于M．若 $\text{[math]}$ ，求BM的长．

综合题困难