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1. 如图1，已知△ABC是边长为8的等边三角形，∠EBD＝30°，BE＝DE，连接AD，点F为AD的中点，连接EF．将△BDE绕点B顺时针旋转．

(1) 如图2，当点E位于BC边上时，延长DE交AB于点G．

①求证：BG＝DE；

②若EF＝3，求BE的长；
(2) 如图3，连接CF，在旋转过程中试探究线段CF与EF之间满足的数量关系，并说明理由．
【考点】
全等三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质; 三角形的中位线定理;
【答案】

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综合题 困难
能力提升
真题演练
换一批
1. 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．

(1) 如图1，若点H是AC的中点，AC= ， 求AB，BD的长；
(2) 如图1，求证：HF=EF；
(3) 如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．
综合题 普通
2. 我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

(1) 特例感知：

在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．

①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；

②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为．
(2) 猜想论证：

在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
综合题 困难
3. △ABC是等边三角形，AC＝2，点C关于AB对称的点为C'，点P是直线C'B上的一个动点，连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D．

(1) 若点P在线段C'B上（不与点C'，点B重合）．

①如图1，若点P是线段C'B的中点，求AP的长

②如图2，点P是线段C'B上任意一点，求证：PD＝PA；
(2) 若点P在线段C'B的延长线上．

①依题意补全图3；

②直接写出线段BD，AB，BP之间的数量关系为：   ▲   ．

综合题 普通