在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（﹣2，﹣4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个．

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1. 在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（﹣2，﹣4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个．

(1) 若点M（2，a）是二次函数y=﹣ax²+ax﹣2图象上的“理想点”，求这个二次函数的表达式；

(2) 函数y=ax²+ax﹣1（a为常数，a≠0）的图象上存在“理想点”吗？请说明理由．

【考点】

二次函数图象与系数的关系; 待定系数法求二次函数解析式;

【答案】

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综合题普通

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，根据图象回答下列问题：

(3) b²﹣4ac0；

(4) y＜0时，x的取值范围是．

综合题普通

2. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²﹣2mx+m﹣3（m＞0）与x轴的交点为A，B．

(1) 求抛物线的顶点坐标；

(2) 若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，求m的取值范围；

(3) 若抛物线在﹣1＜x＜0位于x轴下方，在3＜x＜4位于x轴上方，求m的值．

综合题困难

3. 在2025年毕业季即将到来之际，学校准备开展“筑梦之旅，砥砺前行”活动，小泽同学对会场进行装饰如图1所示，他在会场的两墙 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间悬挂一条近似抛物线 $\text{[math]}$ 的彩带，如图2所示，已知墙 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 等高，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的水平距离 $\text{[math]}$ 为8米．

(1) 如图2，两墙 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的高度是____________米，抛物线的顶点坐标为____________；

(2) 为了使彩带的造型美观，小泽把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙 $\text{[math]}$ 距离为3米，使抛物线 $\text{[math]}$ 的最低点距墙 $\text{[math]}$ 的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；

(3) 为了尽量避免人的头部接触到彩带，小泽现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线 $\text{[math]}$ 对应的二次函数的二次项系数始终为 $\text{[math]}$ ，若设点M距墙 $\text{[math]}$ 的距离为m米，抛物线 $\text{[math]}$ 的最低点到地面的距离为n米，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出m的取值范围为____________．

综合题普通