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1.

(1) 问题发现：如图1，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（2 $\text{[math]}$ ，0），点B的坐标为（0，2），连接AB，点C是AB的中点，点Q是线段AO上的动点，连接OC、CQ，以BQ为边构造等边△BPQ，连接OP、PQ.填空：

①OP与CQ的大小关系是.

②OP的最小值为.

(2) 解决问题：在（1）的条件下，点Q运动的过程中当△ACQ为直角三角形时，求OP的长？

(3) 拓展探究：如图2，当点B为直线x＝﹣1上一动点，点A（2 $\text{[math]}$ ，0），连接AB，以AB为一边向下作等边△ABP，连接OP，请直接写出OP的最小值.

【考点】

垂线段最短及其应用; 全等三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB= $\text{[math]}$ ，将AC边所在直线向右平移，所得直线MN与BC边的延长线相交于点M，点D在AC边上，CD=CM，过点D的直线平分∠BDC，与BC交于点E，与直线MN交于点N，联接AM．

(1) 若CM= $\text{[math]}$ ，则AM=；

(2) 如图①，若点E是BM的中点，求证：MN=AM；

(3) 如图②，若点N落在BA的延长线上，求AM的长．

综合题普通

2. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE=DC．

(1) 求证：△BDE≌△ADC；

(2) 若BC=8.4，tanC= $\text{[math]}$ ，求DE的长．

综合题普通

3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 同侧， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，试探究线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的结论；

(3) 如图3，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难