如图1，抛物线与抛物线相交y轴于点C ，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线交x轴负半轴于点N ，交y轴于点M ，且．

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1. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相交y轴于点C ，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线 $\text{[math]}$ 交x轴负半轴于点N ，交y轴于点M ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式与k的值；

(2) 抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴交x轴于点D ，连接 $\text{[math]}$ ，在x轴上方的对称轴上找一点E ，使以点A ， D ， E为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，求出 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图2，过抛物线 $\text{[math]}$ 上的动点G作 $\text{[math]}$ 轴于点H ，交直线 $\text{[math]}$ 于点Q ，若点 $\text{[math]}$ 是点Q关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点 $\text{[math]}$ 落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 轴对称的性质; 相似三角形的性质; 二次函数图象上点的坐标特征; 二次函数y=ax²+bx+c的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点．

(1) 若过点C的直线 $\text{[math]}$ 是抛物线的对称轴．

①求抛物线的解析式；

②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ 恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(2) 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，函数值y的最大值满足 $\text{[math]}$ ，求b的取值范围．

综合题困难

2. 已知在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=-x-4经过A，C两点，

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ= $\text{[math]}$ AO，求P，Q的坐标；

(3) 动点M在直线y=-x-4上，且以C，O，M为顶点的三角形与△ABC相似，求点M的坐标.

综合题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E.

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；

(3) 作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值.

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