如图，在 ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．

(1) 试证明DE是⊙O的切线；

(2) 若⊙O的半径为5，AC＝6 $\text{[math]}$ ，求此时DE的长．

【考点】

勾股定理; 切线的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 三角形的中位线定理;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD.

(1) 求证：PG与⊙O相切；

(2) 若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 在（2）的条件下，若⊙O的半径为8，PD=OD，求OE的长.

综合题普通

2. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB垂直于CD，垂足为H，∠EAD=∠HAD．

(1) 求证：AE为⊙O的切线；

(2) 延长AE与CD的延长线交于点P，过D 作DE⊥AP，垂足为E，已知PA=2，PD=1，求⊙O的半径和DE的长．

综合题困难

3. 已知，在矩形ABCD中，AB=4， AD=6，点E是边AD上的一个点(与点A、D不重合)，联结CE，作∠CEF=90°交直线BC于点F。点G为线段EP的中点。

(1) 如图1，联结BG，若点E是AD的中点，求△BFG的面积；．

(2) 如图2，若将边AD向左平移1个单位得 $\text{[math]}$ A'BCD'，当点G落在边A'B上时，求A'E的长；

(3) 如图3，连接DF，点H是DF的中点，连接GH，EH，是否存在点E，使△EGH为等腰三角形？若存在，画出图形并求出DE²的值。

综合题困难