若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A ， C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A ， B ， C三点，如图（1）．

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1. 若一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴，y轴分别交于A ， C两点，点B的坐标为 $\text{[math]}$ ，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象过A ， B ， C三点，如图（1）．

(1) 求二次函数的表达式；

(2) 如图（1），过点C作 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点D ，点E在抛物线上（ $\text{[math]}$ 轴左侧），若 $\text{[math]}$ 恰好平分 $\text{[math]}$ ．求直线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(3) 如图（2），若点P在抛物线上（点P在 $\text{[math]}$ 轴右侧），连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①当 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；

②求 $\text{[math]}$ 的最大值．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 平行线的性质; 全等三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 二次函数y=ax²+bx+c的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，二次函数的图象经过原点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ ，且对称轴是 $\text{[math]}$ ．

(1) 求二次函数的表达式；

(2) 若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点，作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上的点，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形相似？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

综合题困难

2. 如图，抛物线y＝ax²+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；

(3) 在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(4) 矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.

综合题普通

3. 在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(-3，1)．

(1) 求点B的坐标；

(2) 求过A、O、B三点的抛物线的解析式；

(3) 设点B关于抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 的对称点为B₁ ，求△AB₁B的面积．

综合题困难