如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一点，BD＝2，E是BC上一动点，联结DE，并作∠DEF＝∠B，射线EF交线段AC于F.

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1. 如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一点，BD＝2，E是BC上一动点，联结DE，并作∠DEF＝∠B，射线EF交线段AC于F.

(1) 求证：△DBE∽△ECF；

(2) 当F是线段AC中点时，求线段BE的长；

(3) 联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长.

【考点】

三角形内角和定理; 等腰三角形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形是2倍角三角形.

(1) 定义应用

如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为；

(2) 性质探索

小思同学通过从“特殊到一般”的过程，对2倍角三角形进行研究，得出结论：

如图1，在△ABC中，如果∠A＝2∠B，那么BC²＝AC（AB＋AC）.

下面是小思同学对其中一种特殊情形的证明方法.

已知：如图2，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°.

求证：BC²＝AC（AB＋AC）.

证明：如图2，延长CA到D，使得AD＝AB，连接BD.

∴∠D＝∠ABD，AB＋AC＝AD＋AC＝CD

∵∠CAB＝∠D＋∠ABD＝2∠D，∠CAB＝90°

∴∠D＝45°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C

∴△ABC∽△BCD

∴ $\text{[math]}$

∴BC²＝AC•CD

∴BC²＝AC（AB＋AC）

根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明：

已知：如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B.

求证：BC²＝AC（AB＋AC）.

证明：

(3) 性质应用

已知：如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，AB＝12，BC＝10，则AC＝；

(4) 拓展应用

已知：如图4，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，求AB的长.

综合题困难

2. 梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 边上一个点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点P，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点G，且 $\text{[math]}$

(1) 求证： $\text{[math]}$

(2) 求证： $\text{[math]}$

综合题普通

3. 在△ABC和△ADE中，点E在BC上，已知∠B＝∠D，∠DAB＝∠EAC．

(1) 求证：△ABC∽△ADE；

(2) 若AC∥DE，∠AEC＝45°，求∠C的度数．

综合题普通