如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点E作的垂线交的角平分线于点F，若．

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1. 如图，已知边长为10的正方形 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一动点（与 $\text{[math]}$ 不重合），连结 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上的点，过点E作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 的角平分线于点F，若 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 请直接写出 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的面积最大．

【考点】

三角形的面积; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O， E为OC上的动点 ( 与点O不重合 )，作AF⊥BE，垂足为G，交BC于点F，交BO于点H，连接OG， CG.

(1) 求证 ∠ AGO = 45°；

(2) 若OG⊥CG， BG = 2. $\text{[math]}$ ，求 S _△OGC的值.

综合题困难

2. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为边AD上的一个动点(与点A，D不重合) ，∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交于AC于点G，交CD于点M。

(1) 求DE：CG的值；

(2) 设AE=x，S_△BEG=y，

①求y关于x的函数表达式及x的取值范围。

②当图中点E，M关于对角线BD成轴对称时，求y的值。

综合题困难

3. 如图，二次函数y= $\text{[math]}$ x²+bx﹣ $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

(1) 请直接写出点D的坐标：；

(2) 当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；

(3) 是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

综合题困难