四边形是边长为的正方形，是的中点，连结，点是射线上一动点(不与点重合)，连结，交于点 .

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1. 四边形 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一动点(不与点 $\text{[math]}$ 重合)，连结 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 在点 $\text{[math]}$ 运动的过程中，当线段 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ ？请说明理由.

【考点】

三角形全等的判定; 勾股定理; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，已知在正方形ABCD中，点E在CD边长，过C点作AE的垂线交于点F，连结DF，过点D作DF的垂线交AE于点G，连结BG．

(1) 求证：△ADG≌△CDF；

(2) 如果E为CD的中点，求证：BG⊥AF．

综合题困难

2. 如图①，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，点E是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图②，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，点H恰为 $\text{[math]}$ 中点，求 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题普通

(1) 方法探索：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．（根据所给的铺助线完成证明）

(2) 方法拓展：如图②．在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF＝ $\text{[math]}$ ∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF＝EF．并证明你的猜想．

(3) 知识应用：如图③，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝5，AD＝4，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，求AE的长度．

综合题普通