已知四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，设 .

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1. 已知四边形 $\text{[math]}$ 是边长为1的正方形，点E是射线 $\text{[math]}$ 上的动点，以 $\text{[math]}$ 为直角边在直线 $\text{[math]}$ 的上方作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，若点E在线段 $\text{[math]}$ 上运动， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点P， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q，连结 $\text{[math]}$ ，

①当 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

②在 $\text{[math]}$ 中，设边 $\text{[math]}$ 上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；

(2) 设过 $\text{[math]}$ 的中点且垂直于 $\text{[math]}$ 的直线被等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式.

【考点】

三角形全等的判定; 勾股定理; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 如图（1），在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以点A为顶点作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接EF．

(1) 观察猜想如图（2），当 $\text{[math]}$ 时，

①四边形ABCD是（填特殊四边形的名称）；

②BE，DF，EF之间的数量关系为．

(2) 类比探究如图（1），线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

(3) 解决问题如图（3），在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D，E均在边BC上，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求DE的长．

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2. 四边形 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一动点(不与点 $\text{[math]}$ 重合)，连结 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 在点 $\text{[math]}$ 运动的过程中，当线段 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ ？请说明理由.

综合题困难

3. 如图，已知在正方形ABCD中，点E在CD边长，过C点作AE的垂线交于点F，连结DF，过点D作DF的垂线交AE于点G，连结BG．

(1) 求证：△ADG≌△CDF；

(2) 如果E为CD的中点，求证：BG⊥AF．

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