如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E.

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1. 如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E.

(1) 求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；

(2) 求证：CD平分∠ACB；

(3) 过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO²+OF²＝EF•BF.

【考点】

等腰三角形的性质; 勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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综合题困难

1. 已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．

(1) 当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；

(2) 当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．

综合题困难

2. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线DE⊥AB于点E。

(1) 求证：△BDE∽△CAD。

(2) 若AB=13，BC=10，求线段DE的长

综合题普通

3. 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．

(1) 在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；

(2) 经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；

(3) P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（ $\text{[math]}$ ≈2.24，结果保留一位小数）.

综合题普通