综合与实践如图，点E是正方形的边上一点，点P在线段上，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，过点E作的垂线，垂足为点H，交射线于点Q．探究发现

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1. 综合与实践

如图，点E是正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上一点，点P在线段 $\text{[math]}$ 上，将线段 $\text{[math]}$ 绕点E顺时针旋转90°得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ 的垂线 $\text{[math]}$ ，垂足为点H，交射线 $\text{[math]}$ 于点Q．

探究发现

(1) 如图1，若点E是线段 $\text{[math]}$ 的中点，直接写出线段 $\text{[math]}$ 的数量关系为；

(2) 如图2，若点E不是线段 $\text{[math]}$ 的中点，线段 $\text{[math]}$ 的数量关系为，填写出证明过程；

(3) 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

【考点】

三角形全等及其性质; 正方形的性质; 旋转的性质; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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综合题困难

1. 已知：正方形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，它的两边分别交 $\text{[math]}$ （或它们的延长线）于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到 $\text{[math]}$ 时（如图1），求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到 $\text{[math]}$ 时（如图2），则线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间数量关系是；

(3) 当 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到如图3的位置时，猜想线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间又有怎样的的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．

综合题困难

2. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．

(1) 如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；

(2) 如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF= $\text{[math]}$ AD，请给出证明；

(3) 在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．

综合题困难

3. 综合与实践：

问题情境：已知 $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 的对角线，将直角三角尺放在正方形 $\text{[math]}$ 上.

(1) 如图1，使三角尺的直角顶点与点A重合，三角尺的一条直角边交直线 $\text{[math]}$ 于点E，另一条直角边交直线 $\text{[math]}$ 于点F.求证： $\text{[math]}$ .

(2) 操作发现：

如图2，将三角尺的直角顶点P放在 $\text{[math]}$ 上，三角尺的一条直角边交直线 $\text{[math]}$ 于点E，另一条直角边交直线 $\text{[math]}$ 于点F.判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由.

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