如图，为的直角边上一点，以为半径的与斜边相切于点，交于点．已知，．

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1.

如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直角边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为半径的 $\text{[math]}$ 与斜边 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求图中阴影部分的面积．

【考点】

勾股定理; 切线的性质; 扇形面积的计算; 解直角三角形;

【答案】

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解答题普通

1. 已知 $\text{[math]}$ 的半径为4，弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．在平面上，先将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 按图1位置摆放（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内），随后移动 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 在弦 $\text{[math]}$ 上移动，点 $\text{[math]}$ 始终在 $\text{[math]}$ 上随之移动．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求阴影部分的面积；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离；

(3) 如图3，设点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 在劣弧 $\text{[math]}$ 上，且过点 $\text{[math]}$ 的切线与 $\text{[math]}$ 垂直时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 若弦 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求图中阴影部分的面积．

解答题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通