如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点 A(-1，0) ，B（点A在点B的左侧），交y轴与点(0，-3)，抛物线的对称轴为直线x＝1，点D为抛物线的顶点.

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1. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点 A(-1，0) ，B（点A在点B的左侧），交y轴与点(0，-3)，抛物线的对称轴为直线x＝1，点D为抛物线的顶点.

(1) 求该抛物线的解析式；

(2) 已知经过点A的直线y＝kx+b(k>0)与抛物线在第一象限交于点E，连接AD，DE，BE，当 $\text{[math]}$ 时，求点E的坐标.

(3) 如图2，在（2）中直线AE与y轴交于点F，将点F向下平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到Q，连接QB.将△OQB绕点O逆时针旋转一定的角度 $\text{[math]}$ （0°< $\text{[math]}$ <360°）得到 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点G.问在旋转过程中是否存在某个位置使得 $\text{[math]}$ 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】

二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax²+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D.

(1) 求抛物线的解析式.

(2) 如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S_△_AQD＝2S_△_APQ时，求点P的坐标.

(3) 如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH.请直接写出线段BH的最小值.

综合题困难

2. 如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

(3) D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程.

(4) 点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

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3. 如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-x²+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．

(1) ①求点A，B，C的坐标；

②求b，c的值．

(2) 若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．

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