如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，以B为顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，连接AF与CE相交于点G，连接DG．

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1. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，以B为顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，连接AF与CE相交于点G，连接DG．

(1) 求证：CE⊥AF；

(2) 求证：AG＋CG＝ $\text{[math]}$ DG；

(3) 连接CF，当EG∶AG∶FG＝l∶2∶5，且S正方形ABCD＝100时，求DG的长和△BCF的面积．

【考点】

三角形全等及其性质; 勾股定理; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1) 概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是．

(2) 性质探究：如图2，已知四边形 $\text{[math]}$ 是垂美四边形，求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 问题解决：如图3，分别以 $\text{[math]}$ 的直角边 $\text{[math]}$ 和斜边 $\text{[math]}$ 为边向外作正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难

2. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，点E，F分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，分别沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 折叠 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，点A的对应点G与点C的对应点H均落在对角线 $\text{[math]}$ 上．

①试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

②求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图2，点P是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，点E，F分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，分别沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 折叠 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ ，点B的对应点是点 $\text{[math]}$ ，点D的对应点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 均落在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，且点E， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点在同一条直线上．

①判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

②直接写出四边形 $\text{[math]}$ 的面积

综合题普通

3. 如图，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC，垂足为E，AD⊥BC，垂足为D，∠BAD= 45°，AD与BE交于点F，连接CF．

(1) 求证：BF=2AE；

(2) 若CD= $\text{[math]}$ ，求AD的长．

综合题普通