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1. 如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N．


(1) 【问题引入】

若点O是AC的中点， = ，求 的值；

温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G．
(2) 若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证： • • =1；
(3) 【拓展应用】


如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若 = ， = ，求 的值．
【考点】
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例; 相似三角形的判定与性质;
【答案】

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实践探究题 普通
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1. 在△ABC中，点O是AC边上一点（点O不与点A、C重合），过点O的直线分别与AB、BC的延长线交于点M、N．

(1) 【猜想】如图①，当点O是AC边的中点时，若 ＝ ，则 的值为．（提示：过点A作AD∥MN交BN的延长线于点D）
(2) 【探究】如图②，当点O是AC边上任意一点（点O不与点A、C重合）时，求证： ＝1．
(3) 【应用】如图③，点P是△ABC内任意一点，射线AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E、F．若 ＝ ， ＝ ，则 的值为．
实践探究题 普通
2. 如图

(1) [感知]如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AB中点，易知OA=OB=OC，则点A、B、C在以AB为直径的⊙O上．

[应用]如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，求证：四边形ABCD有外接圆．
(2)  [拓展]如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD=4，∠BCD=75°，

连结BD，则∠ABD的度数为，BD的长度为
(3) 如图④，连结AC，将△ABC沿AC翻折得△AEC，连结DE，则∠AED的度数为．DE的长度为
实践探究题 普通
3. 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“双等腰四边形”。

(1) 如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，连结BD，E是BD的中点，连结AE，CE.

①试判断四边形ABCE是否为“双等腰四边形”，并说明理由.

②若∠AEC=90°，求∠ABC的度数.
(2) 如图②，E是矩形ABCD内一点，F是边CD上一点，四边形AEFD是“双等腰四边形”，且AD=DE.延长AE交BC于点G，连结FG.若AD=5，求AB的长。
实践探究题 困难