如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．

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1. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 若 $\text{[math]}$ ．

①求菱形 $\text{[math]}$ 的面积.

②求 $\text{[math]}$ 的值.

(3) 若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的大小发生变化时（ $\text{[math]}$ ），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．

【考点】

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合）.DF交AC于点G， $\text{[math]}$ 于点H， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ .

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）.

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，判断EG与AC的位置关系并说明理由.

综合题困难

2. 如图①，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中有一组内错角成两倍关系，则称 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角.

(1) 如图②，在四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形.求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为倍优三角形.

(2) 如图③，已知边长为2的正方形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一动点（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），连结 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为倍优三角形时，求 $\text{[math]}$ 的正切值.

(3) 如图④，四边形 $\text{[math]}$ 内接于⊙O， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是倍优三角形，且 $\text{[math]}$ 为倍优角，延长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .

①若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求⊙O的半径；

②记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式.

综合题困难

(1) 【特殊发现】
如图1，正方形BEFG与正方形ABCD的顶点B重合，BE、BG分别在BC、BA边上，则有：

① $\text{[math]}$ ；②直线DF与直线AG所夹的锐角等于度；

(2) 【类比探究】
将图1中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接DF、AG，如图2，则（1）中的结论是否成立，请说明理由；

(3) 【解决问题】
如图3，点P是正方形ABCD的AB边上一动点（不与A、B重合），连接PC，沿PC将△PBC翻折到△PEC位置，连接DE并延长，与CP的延长线交于点F，连接AF，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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