一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．

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1. 一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．

例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．

(1) 直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；

(2) 求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；

(3) 将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．

例如：1423与4132为一组“相关和平数”

求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．

【考点】

因式分解的应用;

【答案】

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综合题普通

1. 阅读并完成下列各题：

通过学习，同学们已经体会到灵活运用整式乘法公式给计算和化简带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．

（例）用简便方法计算995×1005．

解：995×1005

=（1000﹣5）（1000+5）①

=1000²﹣5²②

=999975．

(1) 例题求解过程中，第②步变形是利用（填乘法公式的名称）；

(2) 用简便方法计算：

①9×11×101×10 001；

②（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1）+1．

综合题普通

2. 如果一个正整数m能写成m＝a²﹣b²（a、b均为正整数，且a≠b），我们称这个数为“平方差数”，则a、b为m的一个平方差分解，规定：F（m）＝ $\text{[math]}$ ．

例如：8＝8×1＝4×2，由8＝a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b），可得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．因为a、b为正整数，解得 $\text{[math]}$ ，所以F（8）＝ $\text{[math]}$ ．又例如：48＝13²﹣11²＝8²﹣4²＝7²﹣1² ，所以F（48）＝ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．

(1) 判断：6平方差数（填“是“或“不是“），并求F（45）的值；

(2) 若s是一个三位数，t是一个两位数，s＝100x+5，t＝10y+x（1≤x≤4，1≤y≤9，x、y是整数），且满足s+t是11的倍数，求F（t）的最大值．

综合题困难

3. 材料一：一个正整数x能写成x=a²﹣b²（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a²+b²最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）=a²+b² ．

例如：24=7²﹣5² ， 24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32=9²﹣7² ， 32=6²﹣2² ，因为9²+7²＞6²+2² ，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）=9²+7²

材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．

根据材料回答：

(1) 请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；

(2) 试证明10不是雪松数；

(3) 若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．

综合题困难