已知：如图：等边△ABC，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE交于N，BM⊥AD于M，若AE=CD，求证：

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1. 已知：如图：等边△ABC，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE交于N，BM⊥AD于M，若AE=CD，

求证：

(1) △ABE≌△CAD；

(2) 求∠BND的度数．

(3) MN= $\text{[math]}$ BN．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 等边三角形的性质;

【答案】

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综合题普通

(1) 操作发现：如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论.

(2) 类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？

(3) 深入探究：

Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论.

Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论.

综合题困难

2. 如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．

(1) 求证：CD=BE；

(2) 求∠CFE的度数．

综合题普通

3. 如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点．

(1) 分别求图①，图②和图③中，∠APD的度数．

(2) 根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

综合题普通