已知函数与函数，定义新函数．

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1. 已知函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ ，定义新函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，则新函数 $\text{[math]}$ ；

(2) 若新函数 $\text{[math]}$ 的解析式为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(3) 设新函数 $\text{[math]}$ 顶点为 $\text{[math]}$ ．

①当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 有大值，并求出最大值；

②求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数解析式．

【考点】

函数解析式; 二次函数的最值; 定义新运算;

【答案】

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综合题困难

1. 若二次函数y₁＝ax²＋4x＋b与y₂＝bx²＋4x＋a均有最小值，记y₁ ， y₂的最小值分别为m ， n ．

(1) 若a＝4，b＝1，求m ， n的值．

(2) 若m＋n＝0，求证：对任意的实数x ，都有y₁＋y₂≥0．

(3) 若m ， n均大于0，且mn＝2，记M为m ， n中的较大者，求M的最小值．

综合题困难

2. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， $\text{[math]}$ ，AD=6，BC=8， $\text{[math]}$ ，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．

(1) 设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）．

(2) 当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．

(3) 随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

综合题困难

3. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

(1) 求抛物线及直线AC的函数表达式；

(2) 若P点是线段AC上的一个动点，过P点作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交抛物线于F点，求线段PF长度的最大值．

综合题普通