综合与实践纸是我们学习工作最常用的纸张之一，其长宽之比是，我们定义：长宽之比是的矩形纸片称为“标准纸”．操作判断：

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1. 综合与实践

$\text{[math]}$ 纸是我们学习工作最常用的纸张之一，其长宽之比是 $\text{[math]}$ ，我们定义：长宽之比是 $\text{[math]}$ 的矩形纸片称为“标准纸”．

操作判断：

(1) 如图1所示，矩形纸片 $\text{[math]}$ 是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点B与D重合，再展开，折痕 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长，

(2) 如图2，在（1）的基础上，连接 $\text{[math]}$ 折痕 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点O，连接 $\text{[math]}$ 判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．

(3) 探究发现：

如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A与点C重合，再展开，痕 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点M， $\text{[math]}$ 交边于点 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 也是点O.然后将四边形 $\text{[math]}$ 剪下，探究纸片 $\text{[math]}$ 是否为“标准纸”，说明理由．

【考点】

矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 四边形的综合;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O。点E在DC边上，∠DAE=∠BAC，连结AE交对角线BD于点G，F是线段EC的中点，连结BF。

(1) 求证：AE⊥BD。

(2) 判断DF与BF的数量关系，并说明理由。

(3) 若tan∠ACB=k（k≥1），△DFB和△ABC面积分别为S₁和S₂ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值。

综合题困难

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 方格子中，有一条线段 $\text{[math]}$ ，两个端点在格点上，请利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．

(1) 如图1中，在线段 $\text{[math]}$ 上作出一点C，使得 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2中，在线段 $\text{[math]}$ 上作出一点D，使得 $\text{[math]}$ ．

综合题普通

3. 如图1，已知四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通