如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，M为BC边上的一个动点（不与点B，C重合），连接AM，以点A为中心，将线段AM逆时针旋转135°，得到线段AN，连接BN．

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1. 如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝ $\text{[math]}$ ，M为BC边上的一个动点（不与点B，C重合），连接AM，以点A为中心，将线段AM逆时针旋转135°，得到线段AN，连接BN．

(1) 依题意补全图2；

(2) 求证：∠BAN＝∠AMB；

(3) 点P在线段BC的延长线上，点M关于点P的对称点为Q，写出一个PC的值，使得对于任意的点M，总有AQ＝BN，并证明．

【考点】

旋转的性质; 三角形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，得 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 旋转后的对应点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．记旋转角为 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图①，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 如图②，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，设线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长的最小值（直接写出结果即可）．

综合题困难

2. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3 $\text{[math]}$ ，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．

(1) 线段DC=；

(2) 求线段DB的长度．

综合题普通

3. 【发现证明】

如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系．

小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF=BE+FD．

(1) 【类比引申】如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；

(2) 【联想拓展】如图4，如图，∠BAC=90°，AB=AC，点E、F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的长．

综合题困难