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1. 数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知△ABC中，AB=AC=m，BC=n，∠BAC=α（0°＜α＜180°），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的的值 和β的度数与m、n、α的关系．
请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

(1) 【问题发现】 填空：

小明研究了α=60°时，如图1，求出了的值 和β的度数分别为，；

小红研究了α=90°时，如图2，求出了的值 和β的度数分别为，；

【类比探究】

他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了 的值和β的度数；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律：(用含m、n的式子表示)； (用含α的式子表示)．
(2) 求出 时 的值和 的度数．
【考点】
相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 三角形的综合; 三角形-动点问题;
【答案】

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实践探究题 困难
能力提升
换一批
1. 如图，在中，AB=AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与相等的角度，得到线段AF，连接 ． 点和点分别是边 ， 的中点．

(1) 【问题发现】如图1，若 ， 当点E是边的中点时，，直线与相交所成的锐角的度数为度．
(2) 【解决问题】如图2，若 ， 当点E是边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3) 【拓展探究】如图3，若 ， AB=6， ， 在E点运动的过程中，直接写出GN的最小值．
实践探究题 普通
2.          

(1) 综合与实践

问题背景：

如图1，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AD⊥CD ， 连接AC ， AC⊥BC ， 过点C作CE⊥AB于点E ， 且CE＝CD ．

求证：AD＝AE ．

(2) 操作探究：

如图2，将△ACD沿直线AB方向向右平移一定距离，点A ， C ， D的对应点分别为点 ， ， ，且点 与点E重合．

①连接 ，试判断四边形 的形状，并说明理由；

②求出△ACD平移的距离．
(3) 若将△ACD继续沿直线AB方向向右平移，当点 恰好落在BC边上时，请在图1中画出平移后的图形，并求出继续平移的距离。
(4) 拓展创新：

如图3，在（2）的条件下，将 绕点E按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线 分别与边AB ， BC交于点N ， M ．

当 时，请直接写出BN的长．
实践探究题 困难
3. 胡老师的数学课上，有这样一道探究题．

如图，已知 中， ，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接 ，将线段 绕点P顺时针旋转 ，得线段 ，连接 点E、F分别为 的中点，设直线 与直线 相交所成的较小角为 ，探究 的值和 的度数与x、y、 的关系．

请您参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

(1) 填空：

【问题发现】

小明研究了 时，如图1，求出了 的值和 的度数分别为 ， ；

小红研究了 时，如图2，求出了 的值和 的度数分别为 ， ；

【类比探究】

他们又共同研究了 时，如图3，也求出了 的值和 的度数；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律： （用含x、y的式子表示）； （用含 的式子表示）
(2) 求出 时 的值和 的度数（注：要求写出具体解题过程，否则得零分）．
实践探究题 困难