为等边三角形，于点D，点E为线段上一点，．以为边作等边三角形，连接为的中点．

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1. $\text{[math]}$ 为等边三角形， $\text{[math]}$ 于点D，点E为线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ．以 $\text{[math]}$ 为边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 如图1，当点E和点F在直线 $\text{[math]}$ 两侧时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点M，连接 $\text{[math]}$ ，

①求证： $\text{[math]}$ ；

②求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 将图1中的 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ ，点M为线段 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，

①如图2，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值；

②连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转过程中，当线段 $\text{[math]}$ 最大时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

等腰三角形的性质; 等边三角形的性质; 解直角三角形; 三角形的中位线定理; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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综合题困难

1. 某校计划把一块近似于直角三角形的废地开发为生物园，如图所示，∠ACB=90°，BC=60米，∠A=36°．

(1) 若入口处E在AB边上，且与A、B等距离，求CE的长（精确到个位）；

(2) 若D点在AB边上，计划沿线段CD修一条水渠．已知水渠的造价为50元/米，水渠路线应如何设计才能使造价最低，求出最低造价．

（其中sin36°=0.5878，cos36°=0.8090，tan36°=0.7265）

综合题普通

2. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D为AB的中点，∠EDF=90°，DE交AC于点G，DF经过点C．

(1) 求∠ADE的度数；

(2) 如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E₁DF₁ ， ∠E₂DF₂ ， DE₁交直线AC于点P，DF₁交直线BC于点Q，DE₂交直线AC于点M，DF₂交直线BC于点N，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 若图1中∠B=β（60°＜β＜90°），（2）中的其余条件不变，判断 $\text{[math]}$ 的值是否为定值？如果是，请直接写出这个值（用含β的式子表示）；如果不是，请说明理由．

综合题普通

3. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，tan∠B=2，BC=4，D为BC边的中点，点E在BC边的延长线上，且CE=BC，连接AE，F为线段AE的中点

(1) 求线段CF的长；

(2) 求∠CAE的正弦值．

综合题普通