综合与实践

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1. 综合与实践

(1) [问题发现]如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一条直线上。填

空：①线段BD，CE之间的数量关系为；②∠BEC=°。

(2) [类比探究]如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED= 90°，AC=BC，AE=DE，点B，D，E在同一条直线上，请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明。

(3) 如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE=3，将△ADE绕点A旋转，当DE所在直线经过点B时，CE的长是多少？(直接写出答案)

【考点】

等边三角形的性质; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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实践探究题困难

1. 在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在线段AC上.

图（1）图（2）图（3）

(1) 【特例证明】

如图（1），当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 【类比探究】

如图（2），当 $\text{[math]}$ ，点D是线段AC上任一点时，证明：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；

(3) 【拓展运用】

如图（3），当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求BC长.

实践探究题普通

2. 【证明体验】

(1) 如图①，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 【思考探究】如图②，在①的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 【拓展延伸】如图③，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难

3. 【问题提出】如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别为边AC，BC的中点，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，连接AE，BF，试探究AE，BF之间存在怎样的数量关系和位置关系？

(1) 【特例探究】若 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转至图2的位置，直线BF与AE，AC分别交于点M，N．按以下思路完成填空（第一个空填推理依据，第二个空填数量关系，第三个空填位置关系）：

∵ $\text{[math]}$ ， E，F分别为AC，BC的中点，

∴ $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ （）

∴AEBF， $\text{[math]}$ ，又∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴AEBM．

(2) 【猜想证明】若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转至图3的位置，直线AE与BF，BC分别交于点M，N，猜想AE与BF之间的数量关系与位置关系，并就图3所示的情况加以证明；

(3) 【拓展运用】若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，直线AE，BF相交于点M，当以点C，E，M，F为顶点的四边形是矩形时，请直接写出BM的长．

实践探究题困难