如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴相交于A(-1，0)，B(3，0)两点，点C为抛物线的顶点。点M(0，m)为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C'

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1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c(a>0)与x轴相交于A(-1，0)，B(3，0)两点，点C为抛物线的顶点。点M(0，m)为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C'

(1) 若原抛物线经过点(-2，5)，求原抛物线的函数表达式；

(2) 在(1)的条件下，当四边形BCB'C的面积为40时，求m的值；

(3) 探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C'为菱形？请说明理由。

【考点】

相似三角形的判定与性质; 二次函数与一元二次方程的综合应用;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， B ，与y轴交于点C ，直线 $\text{[math]}$ 的解析式为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) P是 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一点，过点P作 $\text{[math]}$ 的平行线与 $\text{[math]}$ 交于点E ，与x轴交于点Q ，若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；

(3) 如图2，P是 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一点，过点P作 $\text{[math]}$ 的垂线，交抛物线于另一点D ， Q为平面内一点，若直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与抛物线均只有一个公共点，求证：点Q在某条定直线上．

综合题困难

2. 下图中，四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 均为正方形，E为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图一，两个正方形边长的比值 $\text{[math]}$ ．

(2) 如图二，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小关系，并说明理由；

(3) 如图三，延长 $\text{[math]}$ 至点M，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点P， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难

3. 点C在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，

(1) 如图（1），若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图（2），若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为；（直接写出）

(3) 如图（3），连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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