如图1，抛物线平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．

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1. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与 $\text{[math]}$ 轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．

(1) 求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，直线AB与 $\text{[math]}$ 轴相交于点P，点M为线段OA上一动点， $\text{[math]}$ 为直角，边MN与AP相交于点N，设 $\text{[math]}$ ，试探求：

① $\text{[math]}$ 为何值时 $\text{[math]}$ 为等腰三角形；

② 为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

【考点】

二次函数图象的几何变换; 相似三角形的判定与性质; 二次函数与一元二次方程的综合应用;

【答案】

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综合题困难

1. 如图在平面直角坐标系中顶点为点M的抛物线是由抛物线 $\text{[math]}$ 向右平移1个单位得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在抛物线上，且横坐标为3.

(1) 写出以M为顶点的抛物线解析式.

(2) 连接AB，AM，BM，求 $\text{[math]}$ ；

(3) 点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点P坐标.

综合题困难

2. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， B ，与y轴交于点C ，直线 $\text{[math]}$ 的解析式为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) P是 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一点，过点P作 $\text{[math]}$ 的平行线与 $\text{[math]}$ 交于点E ，与x轴交于点Q ，若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；

(3) 如图2，P是 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一点，过点P作 $\text{[math]}$ 的垂线，交抛物线于另一点D ， Q为平面内一点，若直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与抛物线均只有一个公共点，求证：点Q在某条定直线上．

综合题困难

3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c(a>0)与x轴相交于A(-1，0)，B(3，0)两点，点C为抛物线的顶点。点M(0，m)为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C'

(1) 若原抛物线经过点(-2，5)，求原抛物线的函数表达式；

(2) 在(1)的条件下，当四边形BCB'C的面积为40时，求m的值；

(3) 探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C'为菱形？请说明理由。

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