在等腰中，，点D是边上一点（不与点B、C重合），连结 .

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1. 在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 边上一点（不与点B、C重合），连结 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ，点D关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为点E，结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .

①在图2中补全图形；

②探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明；

(3) 如图3，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间满足的数量关系，并证明.

【考点】

等边三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题普通

1. 如图1，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.

(1) 如图1，当点P在线段BC上时，试猜想写出线段CP与BQ的数量关系，并证明你的猜想；

(2) 如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？（直接写“成立”或“不成立”即可，不需证明）.

综合题普通

(1) 问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG.AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系.并请说明理由.

(2) 理解应用：如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长；

(3) 拓展应用：如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4 $\text{[math]}$ ，AB＝4 $\text{[math]}$ ，AG＝4，AE＝4 $\text{[math]}$ ，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长

综合题困难