如图，的顶点坐标分别为，动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动.过点Q作分别交、于点M、N，连接、 .设运动时间为t（秒）.

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1. 如图， $\text{[math]}$ 的顶点坐标分别为 $\text{[math]}$ ，动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动.过点Q作 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点M、N，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .设运动时间为t（秒）.

(1) 求点M的坐标（用含t的式子表示）；

(2) 求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值或最小值；

(3) 是否存在这样的直线l，总能平分四边形 $\text{[math]}$ 的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；

(4) 连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点N到 $\text{[math]}$ 的距离.

【考点】

坐标与图形性质; 勾股定理; 平行四边形的判定与性质; 矩形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作 $\text{[math]}$ 交BC于点E，点F在BC的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，连接DF．

(1) 求证：四边形AEFD是矩形；

(2) 连接AC，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求EC和AC的长．

综合题普通

2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15。点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动。当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作 $\text{[math]}$ PQMN。设 $\text{[math]}$ PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S。点P的运动时间为t秒。

(1) ①AB的长为；

②PN的长用含t的代数式表示为。

(2) 当 $\text{[math]}$ PQMN为矩形时，求t的值

(3) 当 $\text{[math]}$ PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式

(4) 当过点P且平行于BC的直线经过 $\text{[math]}$ PQMN一边中点时，直接写出t的值

综合题普通

3. 定义：如果一个四边形的一条对角线长度是另一条对角线长度的2倍，则称这个四边形为倍半四边形.

(1) 已知在倍半四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，

①如图1，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

②如图2，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之比是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度；

(2) 如图3，已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一动点，连结 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 为倍半四边形时，求 $\text{[math]}$ 的值（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）.

综合题困难