在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于点与点，以AB为边作直角三角形ABC，并且 .

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1. 在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ，以AB为边作直角三角形ABC，并且 $\text{[math]}$ .

(1) 如图，若点C在第三象限，求出点C的坐标；

(2) 若点C不在第三象限，请求出所有满足条件的点C的坐标；

(3) 在（1）的条件下，过点C作 $\text{[math]}$ 交y轴于点D，求证： $\text{[math]}$ .

【考点】

坐标与图形性质; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

1. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，点B为y轴正半轴上的一个动点．

(1) 如图1，以B为直角顶点， $\text{[math]}$ 为直角边在第一象限作等腰 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则点C的坐标为________；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 延长线上一点，以D为直角顶点， $\text{[math]}$ 为直角边在第一象限作等腰 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，在（1）的条件下，以B为直角顶点， $\text{[math]}$ 为直角边在第二象限作等腰 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ，交y轴于点P，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难

2. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

(1) 【模型呈现】

如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝，BC＝．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

(2) 【模型应用】

①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AH于点H，DE与直线AH交于点G．求证：点G是DE的中点；

②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A为平面内任一点，点B的坐标为（4，1）．若△AOB是以OB为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A的坐标为 ▲ ．

综合题困难

3. 如图，在直角坐标系中：

(1) 写出△ABC各顶点的坐标；

(2) 求△ABC的面积．

综合题普通