在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值.

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1. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，等腰直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，H为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，发现 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为定值.

(1) ① $\text{[math]}$ ▲ ；

② $\text{[math]}$ ▲ .

③小明为了证明①②，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于O ，连接 $\text{[math]}$ ，证明了 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的关系，请你按他的思路证明①②.

(2) 小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）

求① $\text{[math]}$ （用k的代数式表示）

② $\text{[math]}$ （用k、 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

【考点】

勾股定理; 平行四边形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题困难

1. 在 $\text{[math]}$ 中，D，E分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，延长 $\text{[math]}$ 至点F，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形.

(2) $\text{[math]}$ 于点G，连接 $\text{[math]}$ ，若G是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长.

综合题普通

(1) （问题背景）
如图1，在边长为1的正方形网格中，连结格点A、B和C、D，AB和CD相交于点P，求tan∠CPB的值．小马同学是这样解决的：连结格点B、E可得BE∥CD，则∠ABE＝∠CPB，连结AE，那么∠CPB就变换到Rt△ABE中．则tan∠CPB的值为．

(2) （探索延伸）

如图2，在边长为1的正方形网格中，AB和CD相交于点P，求sin∠APD的值．

综合题普通

3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15。点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动。当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作 $\text{[math]}$ PQMN。设 $\text{[math]}$ PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S。点P的运动时间为t秒。

(1) ①AB的长为；

②PN的长用含t的代数式表示为。

(2) 当 $\text{[math]}$ PQMN为矩形时，求t的值

(3) 当 $\text{[math]}$ PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式

(4) 当过点P且平行于BC的直线经过 $\text{[math]}$ PQMN一边中点时，直接写出t的值

综合题普通