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1. 如图，抛物线 与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C.连接AC，BC，点P在抛物线上运动.

 

(1) 求抛物线的表达式；
(2) 如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA 45°时，求点P的坐标；
(3) 如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长.
【考点】
等腰直角三角形; 二次函数与一次函数的综合应用;
【答案】

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综合题 困难
能力提升
真题演练
换一批
1.

已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．

(1) 如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；
(2) 如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．

①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；

②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．
综合题 普通
2. 已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）

(1) 如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．

①求证：PG=PF；      ②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
(2) 拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．
综合题 困难
3. 已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．

(1) 当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
(2) 在（1）的条件下，若DE：AE：CE=1： ：3，求∠AED的度数；
(3) 若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF= ，求CN的长．
综合题 普通