如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A(﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PFAB交BC于点F.

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1. 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax²+2x+c经过点A(﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF $\text{[math]}$ AB交BC于点F.

(1) 求抛物线和直线BC的函数表达式，

(2) 当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长.

(3) 若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.

【考点】

一元二次方程根的判别式及应用; 一次函数图象与几何变换; 平行四边形的性质; 等腰直角三角形; 二次函数与一次函数的综合应用;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为 $\text{[math]}$ ，与直线 $\text{[math]}$ 交点为A和C，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线的解析式和b值；

(2) 在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在一点P，使得 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；

(3) 将抛物线 $\text{[math]}$ 图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线 $\text{[math]}$ 与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围.

综合题普通

2. 如图，▱ABCD中，∠A＝45°，连接BD，且BD⊥AD，点E、点F分别是AB、CD上的点，连接EF交BD于点O，且EF⊥CD，BE＝DF＝1.

(1) 求EF的长；

(2) 直接写出▱ABCD的面积.

综合题普通

3. 如图，在直角坐标系有一等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的负半轴上，点 $\text{[math]}$ 在一次函数 $\text{[math]}$ 的图象上，且 $\text{[math]}$ 点在第二象限， $\text{[math]}$ 点在第四象限，一次函数图象交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 求出点 $\text{[math]}$ 的坐标及 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 匀速运动到 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 恰好从 $\text{[math]}$ 匀速运动到 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，

①求出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式．

②连结 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称点为 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中某条边所在的直线平行时（不重合），求出满足条件的所有 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难