如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、 .

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1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 边上一点（含端点A、B），过点B作 $\text{[math]}$ 垂直于射线 $\text{[math]}$ ，垂足为E，点F在射线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ，点P、M、N分别为线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、

$\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的度数及 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

【考点】

相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形; 三角形的中位线定理;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，A ， B分别在射线OM ， ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA ， OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP ， △OBQ ，点C ， D ， E分别是OA ， OB ， AB的中点．

(1) 求证：△PCE≌△EDQ；

(2) 延长PC ， QD交于点R ．

①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；

②如图3，若△ARB∽△PEQ ，求∠MON大小和 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

2. 如图，点C在线段 $\text{[math]}$ 上，在 $\text{[math]}$ 同侧作等腰 $\text{[math]}$ 和等腰 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 于点O，交 $\text{[math]}$ 于点F，

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

3. 如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D为三角形内一点，且∠ACD=∠DAB=∠DBC．

(1) 求∠CDB的度数；

(2) 求证：△DCA∽△DAB；

(3) 若CD的长为1，求AB的长．

综合题普通