如图，在正方形中，E，F为边上的两个三等分点，点A关于的对称点为，的延长线交于点G.

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1. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E，F为边 $\text{[math]}$ 上的两个三等分点，点A关于 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 于点G.

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的大小；

(3) 求证： $\text{[math]}$ .

【考点】

正方形的性质; 轴对称的性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 三角形的中位线定理;

【答案】

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综合题普通

(1) 证明推断：如图①，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证： $\text{[math]}$ .

(2) 类比探究：如图②，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F，若AB＝6，求OF的长；

(3) 拓展运用：若正方形ABCD变为▱ABCD，如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为 $\text{[math]}$ ，求▱ABCD的面积.

综合题困难

2. 在正方形ABCD中，AB=8，点P在边CD上，tan∠PBC= $\text{[math]}$ ，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直．

(1) 如图1，当点R与点D重合时，求PQ的长；

(2) 如图2，试探索： $\text{[math]}$ 的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；

(3) 如图3，若点Q在线段BP上，设PQ=x，RM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

综合题普通

3. $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于D ， $\text{[math]}$ 于E ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于F

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ （用含m的代数式表示）；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

综合题困难