已知抛物线与x轴只有一个公共点.

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1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴只有一个公共点.

(1) 若抛物线过点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(2) 已知点 $\text{[math]}$ 中恰有两点在抛物线上.

①求抛物线的解析式；

②设直线l： $\text{[math]}$ 与抛物线交于M，N两点，点A在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C.求证： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积相等.

【考点】

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）; 二次函数图象与坐标轴的交点问题; 相似三角形的判定与性质; 二次函数图象上点的坐标特征; 二次函数y=ax²+bx+c的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图所示，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点 $\text{[math]}$ 与点B ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，点D为抛物线的顶点，直线l为对称轴．

(1) 求抛物线和直线BC的表达式，并求出点D的坐标；

(2) 如图所示，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，连接OM ，交BC于点H ，过点M作x轴的平行线，交直线BC于点G ，设点M的横坐标为m ．

①求用含m的代数式表示线段MG的长；

②求 $\text{[math]}$ 的最大值．

综合题普通

2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是二次函数 $\text{[math]}$ 图象上的两个点.

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求该二次函数图象与x轴的交点坐标：

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，

①判断 $\text{[math]}$ 的值是否随着a的变化而变化？若不变，求 $\text{[math]}$ 的值；若变化，说明理由；

②若 $\text{[math]}$ ，求t的值；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求出所有符合条件的正整数m的值；

综合题困难

3. 在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+2mx+4 (m为常数)的顶点为M，与y轴交点为N．

(1) 当m=1时，求点M和点N的坐标．

(2) 当x≥2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为

(3) 当x≤2m时，若函数y=-x²+2mx+4的图象最高点到x轴的距离是其到y轴距离的6倍，求m的值

(4) 若点A、B同时在这条抛物线上，且点A、B的横坐标分别为-2、3，分别作点A、B关于此抛物线对称轴的对称点A'、B'，连结AB、AA'、A'B、A'B'．当线段A'B将△AA'B分成两部分图形的面积比为1：3时，直接写出m的值．

综合题普通