已知和都为等腰三角形， .

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1. 已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都为等腰三角形， $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，

①如图1，当点D在 $\text{[math]}$ 上时，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系； ▲ ；

②如图2，当点D不在 $\text{[math]}$ 上时，判断线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，

①如图3，探究线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

②当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长.

【考点】

等边三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题困难

(1) 问题发现

如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，点E是线段AC上一动点，连接DE.

填空：①则 $\text{[math]}$ 的值为；②∠EAD的度数为.

(2) 类比探究

如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，点E是线段AC上一动点，连接DE.请求出 $\text{[math]}$ 的值及∠EAD的度数；

(3) 拓展延伸

如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC=4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长.

综合题普通

2. 如图1，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

3. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点.

(1) 如图1，若CD⊥AB，求证：AC²=AD·AB；

(2) 如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为.

综合题普通