胡老师的数学课上，有这样一道探究题．如图，已知中，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接，将线段绕点P顺时针旋转，得线段，连接点E、F分别为的中点，设直线与直线相交所成的较小角为，探究的值和的度数与x、y、的关系．请您参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

1. 胡老师的数学课上，有这样一道探究题．

如图，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点P顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 点E、F分别为 $\text{[math]}$ 的中点，设直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交所成的较小角为 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数与x、y、 $\text{[math]}$ 的关系．

请您参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

(1) 填空：

【问题发现】

小明研究了 $\text{[math]}$ 时，如图1，求出了 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

小红研究了 $\text{[math]}$ 时，如图2，求出了 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

【类比探究】

他们又共同研究了 $\text{[math]}$ 时，如图3，也求出了 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律： $\text{[math]}$ （用含x、y的式子表示）； $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

(2) 求出 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数（注：要求写出具体解题过程，否则得零分）．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 三角形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 综合与实践

问题背景：

如图1，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AD⊥CD ，连接AC ， AC⊥BC ，过点C作CE⊥AB于点E ，且CE＝CD ．

求证：AD＝AE ．

(2) 操作探究：

如图2，将△ACD沿直线AB方向向右平移一定距离，点A ， C ， D的对应点分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 与点E重合．

①连接 $\text{[math]}$ ，试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

②求出△ACD平移的距离．

(3) 若将△ACD继续沿直线AB方向向右平移，当点 $\text{[math]}$ 恰好落在BC边上时，请在图1中画出平移后的图形，并求出继续平移的距离。

(4) 拓展创新：

如图3，在（2）的条件下，将 $\text{[math]}$ 绕点E按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线 $\text{[math]}$ 分别与边AB ， BC交于点N ， M ．

当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出BN的长．

实践探究题困难

(1) 【情境再现】

甲、乙两个含 $\text{[math]}$ 角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接 $\text{[math]}$ ，如图③所示， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于E， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于F，通过证明 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ．