如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，连接DE，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接DF，EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG，且∠EGB＝45°．

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1. 如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，连接DE，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接DF，EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG，且∠EGB＝45°．

(1) 依题意，补全图形；

(2) 求证：DE⊥DF；

(3) 用等式表示线段BG，GH与EF之间的数量关系，并证明．

【考点】

正方形的性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题普通

1. 已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在射线AB、射线BC上，AE=BF，DE与AF交于点O.

(1) 如图1，当点E、F分别在线段AB、BC上时，则线段DE与线段AF的数量关系是，位置关系是

(2) 将线段AE沿AF进行平移至FG，连结DG.

①如图2，当点E在AB延长线上时，补全图形，写出AD，AE，DG之间的数量关系.

②若DG= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出AD长.

综合题困难

2. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在AD，DC上，EF的延长线交BC的延长线于G点，且∠AEB=∠BEG；

(1) 求证：∠ABE= $\text{[math]}$ ∠BGE；

(2) 若AB=4，AE=1，求S_△_BEG ．

综合题普通

3. 在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，发现：

图1 图2 图3

(1) 如图1，在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B、C重合），点F在线段AE上，过点F的直线MN⊥AE，分别交AB、CD于点M、N . 此时，有结论AE=MN，请进行证明；

(2) 如图2：当点F为AE中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD， MN 与BD交于点G，连接BF，此时有结论：BF= FG，请利用图2做出证明.

(3) 如图3：当点E为直线BC上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线MN分别交直线AB、CD于点M、N，请你直接写出线段AE与MN之间的数量关系、线段BF与FG之间的数量关系.

综合题困难