如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）．

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1. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 轴左交点为 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，在抛物线的对称轴上求一点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 的周长最小；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上方时，求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离的最大值；

(3) 若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当 $\text{[math]}$ 时，求出在抛物线和直线 $\text{[math]}$ 所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．

【考点】

轴对称的应用-最短距离问题; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，拋物线y=﹣ $\text{[math]}$ x² $\text{[math]}$ x与x轴交于O，A，点B在抛物线上且横坐标为2．

(1) 如图1，△AOB的面积是多少？

(2) 如图1，在线段AB上方的抛物线上有一点K，当△ABK的面积最大时，求点K的坐标及△ABK的面积；

(3) 在（2）的条件下，点H 在y轴上运动，点I在x轴上运动．则当四边形BHIK周长最小时，求出H、I的坐标以及四边形BHIK周长的最小值．

综合题困难

(1) 如图1，在AB直线一侧有C，D两点，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由：

(2) 如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由：

(3) 如图3，在∠AOB内部有两点M，N，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F， M，N，四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由.

综合题困难

3. 问题探究：探究与应用

(1) 如图1，在正方形ABCD中，AB=2，点E是边AD的中点，请在对角线AC上找一点P，使得PE+PD的值最小，并求出这个最小值；（不用写作法，保留作图痕迹）

(2) 如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是边BC的中点，若点P是边AB上一动点，当△PED的周长最小时，求BP的长度；

问题解决：

(3) 某市规划在市中心广场内修建一个矩形的活动中心，如图3，矩形OABC是它的规划图纸，其中A为入口，已知OA=30，OC=20，点E是边AB的中点，以顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，点D是边OA上一点，若将△ABD沿BD翻折，点A恰好落在边BC上的点F处，在点F处设一出口，点M、N分别是边OA、OC上的点，现规划在点M、N、F、E四处各安置一个健身器材，并依次修建MN、NF、FE及EM四条小路，则是否存在点M、N，使得这四条小路的总长度最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

综合题困难