我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如A，B两点）作x轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在x轴上的“足距”，记作 .根据该约定，完成下列各题：

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1. 我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如A，B两点）作x轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在x轴上的“足距”，记作 $\text{[math]}$ .根据该约定，完成下列各题：

(1) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .当点A、B在函数 $\text{[math]}$ 的图象上时， $\text{[math]}$ ；当点A，B在函数 $\text{[math]}$ 的图象上时， $\text{[math]}$ ；

(2) 若反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上有两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求正整数k的值.

(3) 在（2）条件下抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C.如图，点D是该抛物线的顶点，点 $\text{[math]}$ 是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求m的值.

【考点】

二次函数图象与坐标轴的交点问题; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 反比例函数图象上点的坐标特征;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=2 $\text{[math]}$ ，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．

(1) 当OB=2时，求点D的坐标；

(2) 若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；

(3) 如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A₁B₁C₁D₁ ，过点D₁的反比例函数y= $\text{[math]}$ （k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A₁ ， D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．

综合题普通

2. 已知二次函数的表达式为y=x²+mx+n．

(1) 若这个二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），求实数m，n的值；

(2) 若△ABC是有一个内角为30°的直角三角形，∠C为直角，sinA，cosB是方程x²+mx+n=0的两个根，求实数m，n的值．

综合题普通

3. 我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．

(1) 如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）

(2) 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度

综合题困难