数学课上，老师布置了一道尺规作图题：如图1，已知直线l和l直线外一点D，用直尺和圆规作过点D且与直线l平行的直线. 小姝的作法是： ①在直线l上任取两点；②以D为圆心，长为半径作圆弧；③以B为圆心，为半径作圆弧，两段圆弧交于点C；④连接，则直线即为直线l的平行线.

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1. 数学课上，老师布置了一道尺规作图题：如图1，已知直线l和l直线外一点D，用直尺和圆规作过点D且与直线l平行的直线.

小姝的作法是：

①在直线l上任取两点 $\text{[math]}$ ；②以D为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作圆弧；③以B为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作圆弧，两段圆弧交于点C；④连接 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 即为直线l的平行线.

(1) 根据小姝的作法，请你证明直线 $\text{[math]}$ 直线l；

(2) 在第（1）问条件下，如图2，在线段 $\text{[math]}$ 上取一点E，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 的延长线于P，连接 $\text{[math]}$ 交于点M，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于F，交 $\text{[math]}$ 于G.

①求证： $\text{[math]}$ ；

②求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之比.

【考点】

平行四边形的判定与性质; 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图1，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

①求 $\text{[math]}$ 的值；

②连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 的方格纸 $\text{[math]}$ 中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合.

(1) 在图1中画一条格点线段 $\text{[math]}$ ，使G，H分别落在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互相平分.

(2) 在图2上画一条格点线段 $\text{[math]}$ ，使M，N分别落在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且要求 $\text{[math]}$ 分 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 两部分.

综合题困难

3. 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD.

(1) 求证：四边形ACED是平行四边形；

(2) 联结AE，交BD于点G，求证： $\text{[math]}$ .

综合题普通