如图我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且．（以上长度单位：）

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1. 如图

我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以用来解释 $\text{[math]}$ ，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．

如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 $\text{[math]}$ 的大正方形，两块是边长都为 $\text{[math]}$ 的小正方形，五块是长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的全等小长方形，且 $\text{[math]}$ ．（以上长度单位： $\text{[math]}$ ）

(1) 观察图形，可以发现代数式 $\text{[math]}$ 可以分解因式为

(2) 若每块小长方形的面积为 $\text{[math]}$ ，四个正方形的面积和为 $\text{[math]}$ 试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．

【考点】

因式分解的应用;

【答案】

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综合题困难

1. 如图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图乙围成一个较大的正方形．

(1) 请用两种方法表示图中阴影部分面积（只需表示，不必化简）；

(2) 比较（1）两种结果，你能得到怎样的等量关系？

请你用（2）中得到等量关系解决下面问题：如果m﹣n=5，mn=14，求m+n的值．

综合题困难

2. 仔细阅读下面例题，解答问题：例题: 已知二次三项式x² - 4x + m 有一个因式是 ( x + 3) ，求另一个因式以及 m 的值.

解：设另一个因式为 ( x + n) ，得x² - 4x + m = ( x + 3) ( x + n)

则x² - 4 x + m = x² + (n + 3) x + 3n

∴ $\text{[math]}$

解得： n = -7, m = -21

∴ 另一个因式为 ( x - 7) ， m 的值为－21 .

问题：仿照以上方法解答下面问题：

(1) 已知二次三项式2x²+3x-k有一个因式是（2x-5），求另一个因式以及k的值．

(2) 已知二次三项式6x²+4ax+2有一个因式是（2x+a），a是正整数，求另一个因式以及a的值．

综合题困难

3. 下面是某同学对多项式（x²﹣4x﹣3）（x²﹣4x+1）+4进行因式分解的过程．

解：设x²﹣4x=y

原式=（y﹣3）（y+1）+4（第一步）

=y²﹣2y+1 （第二步）

=（y﹣1）² （第三步）

=（x²﹣4x﹣1）²（第四步）

回答下列问题：

(1) 该同学第二步到第三步运用了因式分解的． A. 提取公因式法 B. 平方差公式法 C. 完全平方公式法

(2) 请你模仿以上方法尝试对多项式（x²+2x）（x²+2x+2）+1进行因式分解．

综合题普通