如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.

1. 如果三角形的两个内角 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.

(1) 若 $\text{[math]}$ 是“准互余三角形”， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

(2) 如图（1）， $\text{[math]}$ 是半圆的直径， $\text{[math]}$ 是半圆上的点，D是 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E.

①若D是 $\text{[math]}$ 的中点，则图中共有 ▲ 个“准互余三角形”；

②当 $\text{[math]}$ 是“准互余三角形”时，求 $\text{[math]}$ 的长；

③如图（2）所示，若F是 $\text{[math]}$ 上的点（不与 $\text{[math]}$ 重合），G为射线 $\text{[math]}$ 上一点，且满足 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 是“准互余三角形”时，求 $\text{[math]}$ 的长.

【考点】

勾股定理; 圆周角定理; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，点E为线段BC上一点，将 $\text{[math]}$ 绕点E旋转时，线段DE与AB交于点P，线段EF与直线CA交于点Q．

(1) 如图①，点Q在线段AC上且BP=CE时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图②，点Q在线段CA的延长线上时，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图③，点Q在线段CA的延长线上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求P，Q两点间的距离．（用含a的代数式表示）

综合题困难

2. 如图

(1) 问题发现：

如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(2) 类比探究：

如图2，在（1）的条件下，把“正方形 $\text{[math]}$ ”改为“矩形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”其它条件不变，则 $\text{[math]}$ ▲ ，证明你的结论；

(3) 拓展应用：

如图3，在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .