如图，和是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，点E为线段BC上一点，将绕点E旋转时，线段DE与AB交于点P，线段EF与直线CA交于点Q．

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1. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，点E为线段BC上一点，将 $\text{[math]}$ 绕点E旋转时，线段DE与AB交于点P，线段EF与直线CA交于点Q．

(1) 如图①，点Q在线段AC上且BP=CE时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图②，点Q在线段CA的延长线上时，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图③，点Q在线段CA的延长线上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求P，Q两点间的距离．（用含a的代数式表示）

【考点】

勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图

(1) 问题发现：

如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(2) 类比探究：

如图2，在（1）的条件下，把“正方形 $\text{[math]}$ ”改为“矩形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”其它条件不变，则 $\text{[math]}$ ▲ ，证明你的结论；

(3) 拓展应用：

如图3，在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .