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(1) [问题发现]

如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一条边作正方形CDEP，点E恰好与点A重合．则线段BE与AF的数量关系为；

(2) [拓展研究]

在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请就图2的情形给出证明；

(3) [问题发现]

当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 旋转的性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. 数学课上，有这样一道探究题．

如图，已知 $\text{[math]}$ 中，AB=AC=m，BC=n， $\text{[math]}$ ，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

(1) 问题发现：

小明研究了 $\text{[math]}$ 时，如图1，求出了 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

小红研究了 $\text{[math]}$ 时，如图2，求出了 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 类比探究：

他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了 $\text{[math]}$ ；

归纳总结：

最后他们终于共同探究得出规律：

$\text{[math]}$ （用含m、n的式子表示）； $\text{[math]}$ （用含α的式子表示）．

(3) 求出 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数．

实践探究题困难

2. 综合与实践

背景阅读：旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转作为图形变换的一种，具备图形旋转前后对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角：旋转前、后的图形是全等图形等性质．所以充分运用这些性质是在解决有关旋转问题的关键．

实践操作：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝12，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

(1) 问题解决：①当α＝0°时， $\text{[math]}$ ＝；②当α＝180°时， $\text{[math]}$ ＝．

(2) 试判断：当0°≤a＜360°时， $\text{[math]}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

(3) 问题再探：当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求得线段BD的长为．

实践探究题困难

3. 如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE

(1) [发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是；位置关系是；

(2) [探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；

(3) [应用]：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE//AB，且AB＝ $\text{[math]}$ ，AE＝1，求线段DG的长

实践探究题困难